贏利為何難，你贏不了“凱利公式”——賭場和投資圈最著名的公式

有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。但如果你還是一個具有理性精神的人，別再迷戀所謂的運氣。賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場後面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。你怎麼可能贏得了莊家？

賭徒迷信的是運氣，賭場相信的是數學



賭王何鴻燊接手葡京賭場時，業務蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教“賭神”葉漢：“如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎麼辦？”葉漢笑道：“一次賭徒，一世賭徒，他們擔心的是賭場不在怎麼辦。”

葉漢說的只是心理層面，現代賭場程序方面的設計，比葉漢當年要縝密得多，賭場集中了概率、級數、極限方面的數學經驗。一個普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會血本無歸，所謂的各種致勝絕技，除了電影裡的周星星，現實裡的周星馳都不信。

賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，他們是在與狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的大師對決數學，贏的勝率能有多大？


看得到的是概率，看不見的是陷阱



我們先說一個最簡單的賭博遊戲：賭運氣猜硬幣。

規則是這樣的，擲硬幣，正面贏反面輸，贏了可以拿走一倍的錢，輸了會賠掉本金，你玩不玩？你可能覺得，唉，這遊戲不錯，公平！恰好運氣也不錯，第一把贏了100元！你高興壞了，這時候莊家跟你說，你看你也贏了這麼多，我呢，辛辛苦苦搭個場子，最後什麼都沒撈著，要不這樣，你贏了，就給我留下2％，就算是救濟救濟老哥，給捧捧場！你一聽，2％，才這麼點，拿去吧，不差錢！好了，這事就這麼定下來了。

然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2％，最後卻讓你輸得傾家蕩產、家破人亡。

這小小的2個點的贏的概率貌似不起眼，但配上“大數法則”，就成為了賭場賺錢的利器！“大數法則”是數學家伯努利提出來的，說的是假設n(a)是n次獨立重複實驗中發生a的次數，p是每次實驗發生a的概率，當n足夠大的時候，對任意正數ε，有lim{[|(n(a)/n)| p]<ε}=1，公式這麼複雜，99%的賭徒都看不懂，看不懂沒關係，我們只看結果，最終莊家贏到的錢=0.02*a。

莊家賺的錢最終只跟玩家下注大小有關！這也就是我們常說的“流水”，只要玩家不停地玩，莊家就會不停地賺！而不管玩家是輸是贏，莊家始終是贏的！為什麼賭場有“最小投注額”，因為擴大“流水”才能將利潤最大化！

所以別以為自己有多聰明，你要慶幸自己玩得不夠久而已，十賭九輸正源於此。


只要進了賭，你就是一個窮鬼



我們再進一步，就算雙方的概率均等，你仍然是一個輸家，這裡涉及到“無限財富”和“賭徒輸光定律”，這個定理在現實生活中有許多應用，如“姓氏消亡”“線粒體夏娃假說”，在概率均等的情況下，誰的資本大，誰的贏率高。

你和我對賭，你我各有5塊錢，輸光為止。那麼你贏的概率是50%，輸的概率也是50%。

你和我對賭，你有5塊錢，我有10塊錢，輸光為止，那麼你贏的概率就只有33.3%，而輸的概率有66.7%（這裡涉及到高斯的概率論和泰勒的級數論），後面隱藏的就是賭場大BOSS凱利公式，後面小節裡將詳加表述。

對於小散戶，賭場一般可以認為財富是無限多的，你贏不垮它，它卻能吃了你。在賭場老闆的眼裡，世界只有兩種人：一種現在是窮鬼，一種未來是窮鬼。

“無限財富定律”也解釋了賭場設置最大投注額原因。不是老闆好心保護賭徒免遭破產，只是老闆為了保護自己設置的安全屏障，想像下萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個幾百億進去，那賭場老闆真的要哭了，雖然這種事情不太可能發生，但也不能不防，所以賭場根據自己的財富能力設計最高投注額，也就是為了抵抗“無限財富定理”！


賭場大BOSS凱利公式：先告訴你怎麼下注



凱利公式在高級賭徒的世界里大名鼎鼎，那什麼是凱利公式，我們先看一個例子：

有一個簡單2賠1的賭局，扔硬幣下注，硬幣為正面則得2元，如果為反面則輸掉1元，你的總資產為100元，每一次的押注都可投入任意金額。

你會怎麼賭呢？

如果你是冒險主義者，你可能會想，要玩就玩票大的，一次性把100元全壓上，幸運的話，一次正面就可以獲得200元，又是一段值得炫耀的賭史；可是，如果輸了得把100元資產拱手獻給對方，你就一無所有，好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。

如果你是保守主義者，你可以會想，謹慎點，百分之一慢慢來。你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己一次才贏2元、10次才能贏得20元，後悔已經錯過幾個億！

100太多1塊太少，該投入多少比例下注？普通賭徒看似無解，但凱利公式告訴你答案是25%！

讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：



在公式中，各參數意義為：
f* = 應投注的資本比值
p = 獲勝的概率
q = 失敗的概率
b = 賠率

公式上面的分子bp-q代表“贏面”，數學中叫“期望值”。

什麼才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。回到前面提到的例子中，硬幣拋出正反面的概率都是50%，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損，賠率就是2，我們要求的答案是f，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。

拿出資金的25%來進行下注，才能使賭局收益最大化。

賭場操盤者的每一次下注的時候，都會謹記數學原則，而作為普通賭徒，除了心中默念“菩薩保佑”外，哪裡知道這後面的數理知識。



所以，就算你贏得了財神爺的支持，但你也永遠贏不了“凱利公式”。

其實公式的作者，凱利，並不是一個資深賭徒，而是一位著名的物理學家，他發明這個公式的時候正是著名貝爾實驗室中的一名研究科學家，研究方向是當時還算新興前沿的電視信號傳輸協議。




除了100%贏，任何時候都不應下注



所有的賭場遊戲，幾乎都是對賭徒不公平的遊戲。

但這種不公平並非是莊家出老千，現代賭場光明正大地依靠數學規則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所，如果不是這樣，進出賭場不知有多少狂命之徒，何鴻燊早怕九條命都不夠。

凱利公式不是憑空設想出來的，這個數學模型已經在華爾街得到驗證，除了在賭場被奉為正神，也被稱為“資金管理神器”，是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個公式也賺了不少銀子。

1955年6月，美國出現了一個極其有名的電視節目，叫做64000 dollar question。答題者通過不斷答對題來累積獎金，一時風靡全美，黃金時段收視率達到85%，各路山寨節目不斷。這樣一個問答秀迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節目的錄製是在紐約，東海岸現場直播，而西海岸則有延時。當時的新聞爆出一些醜聞，有關西海岸的賭徒通過電話提前得知結果，趕在了西海岸直播前下注。

凱利看了新聞之後，他想到這個如何使具備一定內幕消息但是同時有一部分雜音的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實驗室關於諮詢學和噪音傳遞研究的公式來解決。於是，他以一個賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。

凱利的理論是這樣的，對於有一定內幕消息的賽馬人來說，第一個自然的想法當然是放入全部的資金，但是這樣就會造成萬一輸掉血本無歸的慘境。而在凱利想要解決的這個問題中，在任何一個時刻輸掉全部資金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。

真正應該關心的是長期累積的收入，對於累積的收益來說，最後的結果只和輸贏的局數有關，而和輸贏的順序無關。所以他推出了一個最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：

bet = edge / odds = 預期獲益／獲益回報
edge=bp-q

這裡的edge 在賭博中可以理解為獲勝的概率＊賠率- 失敗的概率，也就是上文提到的贏面。當edge的數字為正的時候，這就是值得下注的比賽，而edge為0或者負數的情況說明賭徒不具備edge, 不應該下注。

而odds則是賠率，我們更可以把它理解為一種公眾對概率的估計，是公開的消息。

我們可以用凱利模擬這樣一種情況：小明現在有100元的起始資金，他現在將要投硬幣4次，每一次他投出硬幣為正面的時候，將獲得6倍資金回報(1陪5)，當他投出硬幣為反面，陪光。請問小明要如何分配每次下注資金，才能最大化他4次投幣之後的收益呢？



根據凱利公式計算，我們可以建立起這樣一個正反面的概率各為50%，edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds為5，最佳倉位為40%，可以看到最終在16個可能出現的結果中(4次投擲)，12.96和8100出現1次，64.8和1620出現4次，324出現6次，16次結果的收益為324。凱利公式的目的正是最大化這些結果的收益。

由於凱利公式著眼於長期回報率和風險的控制，所以天然就吸引投資人想要把它應用在投資當中。比如著名的傳奇數學家Edward Thorp讀了凱利的論文之後，先是自學Fortran用IBM大型機開發了一套專門用於21點的算法(感興趣的同學可以去看下電影21，電影裡的card counting的方法正是獲得edge的來源），帶上凱利的導師在拉斯維加斯大把吸金。

結語——贏得勝利的唯一法則：不賭



沒有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。

但如果你還是一個具有理性精神的人，別再迷戀所謂的運氣。

賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場後面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。

你怎麼可能贏得了莊家？

論理性，沒有人能比賭場老闆更理性。

論數學，沒有人能比賭場老闆請的專家更精通數學。

論賭本，沒有人能比賭場老闆的本錢更多。